Tài liệu ôn tập học kì II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS&THPT Trưng Vương

Nội dung tài liệu: Tài liệu ôn tập học kì II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS&THPT Trưng Vương

1. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ CHỦ ĐỀ : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ: 1.Hàm số cĩ dạng: y = ax + b (a 0) là h.số bậc nhất xác định với mọi x R + Đồng biến khi a > 0 +Nghịch biến khi a < 0 2. Đồ thị hàm số: y = ax + b (a 0) là đường thẳng cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng b và đi qua A(0, b) ; B(- b ; 0) a 3. Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là đường thẳng đi qua O(0; 0) và A(1; a) 4. Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là 1 đường cong Parabol nằm phía trên trục hồnh nếu a > 0, nằm phía dưới trục hồnh nếu a< 0 Cách vẽ đờ thị hàm sớ y=ax2 ( a 0) : (Gờm 2 bước bắt buợt) Bước :1 Lập bảng giá trị gồm 5 cặp số ( Nhập vào máy tính biểu thức ax2 rồi nhấn CALC các giá trị x để cĩ y nguyên rồi điền vào bảng sau) x - 2 - 1 0 1 2 y 4a a 0 a 4a Bước 2 : Vẽ đồ thị đi qua 5 điểm đã cho 5. Sự tương giao giữa 2 đường thẳng (d) y = ax + b; (d’) y = a’x + b’ + (d) cắt (d’) a a’ + (d) song song (d’) a = a’ và b b’ + (d) trùng (d’) a = a’ và b = b’ + (d) vuơng gĩc với (d’) a.a’ = -1 6. Sự tương quan giữa đồ thị hàm số (P) y = ax2 và (d) y = ax + b + (d) cắt (P) tại 2 điểm phương trình ax2 = ax + b cĩ 2 nghiệm phân biệt + (d) tiếp xúc (P) phương trình ax2 = ax +b cĩ nghiệm kép + (d) khơng cắt (P) phương trình ax2 = ax + b vơ nghiệm CHỦ ĐỀ : HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN: ax by c 1. Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn cĩ dạng: (I) a' x b' y c' a b * Hệ (I) cĩ nghiệm duy nhất  a' b' a b c * Hệ(I) vơ nghiệm  a' b' c' a b c *Hệ (I) cĩ vơ số nghiệm  a' b' c' 2. Các phương pháp giải hpt bậc nhất 2 ẩn:  Cách 1: Giải bằng phương pháp thế: - Rút x(hoặc y) theo y (hoặc x) từ một trong hai phương trình của hệ. - Thay x (hoặc y) tìm được theo y (hoặc x) vào phươung trình cịn lại. - Giải phương trình bậc nhất đối với y (hoặc x)  Cách 2 : Giải bằng phương pháp cộng: Trang 1
2. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 - Nhân hai vế của một hệ phương trình với một số thích hợp (nếu cần)sao cho các hệ số của một ẩn nào đĩ trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau - Áp dụng qui tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới,trong đĩ cĩ một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 - Giải hệ phương trình vừa thu được CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN: 2  Nếu x = x0 là một nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a 0) thì: ax0+ bx0 + c = 0  Cơng thức giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) * Tính * Tính ’(Nếu hệ số b chẵn) b Xác định hệ số a, b, c Xác định hệ số a, b' , c Tính = b2 - 4ac 2 2 Kết luận (Dựa vào ) Tính ’= b’ - ac  Nếu > 0 thì phương trình cĩ 2 Kết luận (Dựa vào ’) nghiệm phân biệt.  Nếu ’> 0 thì phương trình cĩ b b 2 nghiệm phân biệt. x1 = ; x2 = 2a 2a b'' b'' x1 = ; x2 =  Nếu = 0 thì phương trình cĩ a a b  Nếu ’= 0 thì phương trình cĩ nghiệm kép x1 = x2 = 2a b ' nghiệm kép x1 = x2 =  Nếu < 0 phương trình vơ nghiệm a  Nếu ’< 0 pt vơ nghiệm  Nếu ac < 0 hay a và c trái dấu thì phương trình luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt.  Hệ thức Viét 2 Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0) b c thì S = x1 + x2 = ; P = x1 . x2 = a a Áp dụng hệ thức vi ét + Muốn tìm 2 số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải pt X2 – SX + P = 0 2 + Nếu a + b + c = 0 thì pt ax + bx + c = 0 cĩ 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = 2 c +Nếu a – b + c = 0 thì pt ax + bx + c = 0 cĩ 2 nghiệm x1 = - 1 ; x2 = a GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 A 0 (1) 1/ Phương trình tích: A.B = 0 B 0 (2) Giải từng phương trình (1) và (2) nghiệm của mỗi phương trên là nghiệm của phương trình đã cho 2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Qui đồng mẫu 2 vế rồi khử mẫu Trang 2
3. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được Bước 4: So với điều kiện để loại nghiệm (nếu cĩ) 3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 Bước 1: Đặt x2 = t ( t 0 ) Bước 2: Giải pt at2 + bt + c = 0 (Bấm máy tính Mode 5 3 t1 ?; t2 ? ) Bước 3: Với mỗi t 0 ; Ta cĩ t = x2 x t Điều kiện về nghiệm của mợt phương trình bậc hai 2 b Nếu pt ax + bx + c = 0 (a 0) (1) cĩ 2 nghiệm x1 , x2 thì: S = x1 + x2 = a P = x1.x2 = 0 (1) Cĩ 2 nghiệm cùng dương  P 0 S 0 0 (1) Cĩ 2 nghiệm âm  P 0 S 0 0 (1) Cĩ 2 nghiệm cùng dấu  P 0 0 (1) Cĩ 2 nghiệm đối nhau  S 0 (1) Cĩ 2 nghiệm trái dấu  P < 0 Mợt sớ hệ thức về nghiệm: 2 2 c 2 2 x1 + x2 = (x1+ x2) – 2x1 x2 = S - 2P 3 3 a 3 3 x1 + x2 = ( x1 + x2) – 3x1x2 .(x1 – x2) = S -3PS 2 2 2 (x1 – x2) = ( x1 + x2) – 4x1x2 = S -4P CHỦ ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN – GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN I. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRỊN I. ĐN và sự xác định đường trịn: 2/ ĐL: Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ 1/ ĐN: được mợt và chỉ mợt đường trịn. Đường trịn tâm O bán kính R là hình gồm các 3/ PPCM: Bốn điểm cùng thuộc một đường điểm cách điểm O một khoảng bẳng R. trịn A, B, C, D (O) OA = OB = OC = OD Trang 3
4. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 II. Các TC về đường kính và dây: 1/ Quan hệ vuơng gĩc giữa đường kính và dây: 2/ Liên hệ giữa dây và k/c A từ tâm đến dây: *Xét đường trịn (O), cĩ: D K C *Xét đường trịn (O), cĩ: AB là đường kính, O AB, CD là hai dây cung CD là dây khơng đi qua tâm C OHAB, OKCD I D A H B B ABCD tại I IC = ID AB = CD OH = OK AB > CD OH < OK III. Vị trí tương đới: 2/ VTTĐ của hai đường trịn: 1/ VTTĐ của đường thẳng *Xét 2 đường trịn A và đường trịn: R r (O;R) và (O’;r) O O' với R > r O *Xét đường trịn (O; R) B Đoạn nối tâm OO’= d d và đường thẳng a. a *Các vị trí tương đối: H Kẻ OH  a tại H a/ (O) và (O’) cắt nhau R – r < d < R + r OH = d là k/c từ O đến a b/ (O) và (O’) tiếp xúc ngồi d = R + r *Các vị trí tương đối: (O) và (O’) tiếp xúc trong d = R – r a/ Đ.thẳng a và (O) cắt nhau d R + r b/ Đ.thẳng a và (O) tiếp xúc nhau d = R (O) và (O’) đựng nhau d < R – r c/ Đ.thẳng a và (O) khơng giao nhau d > R IV. Tiếp tuyến của đường trịn: 2/ TC tiếp tuyến: là tiếp tuyến đường trịn đường kính MC. B 3/ TC hai tiếp tuyến cắt nhau: O AB, AC là 2 tiếp tuyến của đường trịn (O) O A d AB AC a C M AO là tia phân giác của BAC 1/ ĐN tiếp tuyến: OA là tia phân giác của BOC Tiếp tuyến của đường trịn là đường thẳng chỉ cĩ một điểm chung với đường trịn đĩ. V. Đường trịn với tam giác: 1/ Đường trịn ngoại tiếp tam giác: là đường trịn đi qua ba đỉnh của tam giác. *Tâm O của đường trịn là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác. 2/ Đường trịn nội tiếp tam giác: là đường trịn Trang 4
5. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. A A *Tâm I của đường trịn là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác O I B C B C GĨC VỚI VỚI ĐƯỜNG TRỊN 1.Gĩc ở tâm: 2.Gĩc nợi tiếp: B C C m m n O m A B A B A D * AOB chắn cung AmB AOB = Sđ AmB ABC chắn cung AmC Lưu ý : Sđ AnB = 3600 - Sđ * 1 ABC = Sđ AmC 2 * và ADC cùng chắn cung AmC = D B C C A B A O * AC = CD = CBD . Lưu ý : = AC = CD 0 * chắn nửa đường trịn =90 1 * = AOC 2 3. Gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: 4. Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong . Gĩc ở bên ngoài C đường trịn: B B C A D m m A E x A y x A y E B D B C * BAy chắn cung AmB BAy = Sđ AmB * BED chắn hai cung nhỏ BD và AC * và ACB cùng chắn cung AmB 1 BED (Sđ BD + Sđ ) = 2 *CED chắn hai cung nhỏ AB và CD 1 = (Sđ AB + Sđ CD ) 2 Trang 5
6. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 5. Tứ giác nợi tiếp: D *Dấu hiệu nhận biết tứ giác nợi tiếp: ABCD nội tiếp -Bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. O 0 A,B,C,D thuộc đường trịn A C -Tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 180 . (O) -Hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh B cịn lại dưới một gĩc khơng đổi. D Ta cĩ: ADC=900 (gt) Ta cĩ: ABD=900 (gt) A A 0 0 O ABC=90 (gt) ACD=90 (gt) O D 0 0 0 C 0 Nên: ADC+ABC=90 +90 180 B Nên: ADC=ABC=90 B Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp C 6. Các cơng thức tính chu vi đường trịn, cung trịn, diện tích hình trịn, quạt trịn: * Chu vi hình trịn: C = 2 R = d * Diện tích hình trịn: S = R2 Rn * Độ dài cung trịn: l = 180 R2 n lR * Diện tích hình quạt trịn: S = 360 2 B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI 1: Giải phương trình sau: 2 2 1) 2x – 5x + 3 = 0 11) 8x – 5x – 3 = 0 2 2) x2 + 2 2x 2 0 12) 5x – x = 0 2 3) 2x2 + x – 3 = 0 13) 5x – 6x -5 = 0 2 4) 12x – 5x2 = 0 14) x – 6x + 1 = 0 2 5) 3x2 + 5x + 2 = 0 15) 3x – 6x = 0 2 2 16) 4x – 12x + 9 = 0 6) xx 2 1 2 0 2 2 17) 2x – 5x – 3 = 0 7) -2x + 5x = 0 2 8) 3x2 + 8x – 3 = 0 18) x - x - 2=0 2 9) 5x2 – 24x – 5 = 0 19) 7x – 9x + 2 = 0 10) 2x2 + x – 3 = 0 20) 23x2 – 9x – 32 = 0 BÀI 2: Giải phương trình sau: 1) x4 – 13x2 + 36 = 0 6) 3x4 – 12x2 +9 = 0 2) 3x4 – 10x2 + 7 = 0 7) x4 – 5x2 – 24 = 0 3) x4 – 2x2 – 120 = 0 8) x4 + 2x2 – 15 = 0 4 2 4) xx42 12 0 9) 4x + x – 5 = 0 4 2 5) 3x4 + 8x2 – 3 = 0 10) 9x + 8x – 1 = 0 BÀI 3: Giải hệ phương trình sau: Trang 6
7. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 3x 2y 11 xy 5 1) 7) x 2y 1 37xy x 4y 9 x 2y 2 2) 8) x 2y 3 3x y 13 4x 3y 18 3x 4y 2 3) 9) 2x 9y 12 4x 5y 3 2x y 6 x 2y 5 4) 10) 2x 5y 30 2x 3y 4 5x 7y 17 5) 4x 5y 3 4x 3y 18 6) 2x 9y 12 Bài :4 Vẽ đồ thị (P) của hàm số 1 1 1) y = x2 4) y = x2 2 4 2) y = - x2 5) y = -3x2 2 3) y = 2x 1 2 6) yx 2 Bài5 : Cho phương trình: x2 – 2(m - 3)x - 6m + 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = - x1 +x1x2 – x2 Bài 6:Cho phương trình: x2 – (m +3)x + 3m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm thỏa mãn x1 + x2 – x1x2 < 0 Bài7 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O) đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E, kẻ EF vuông góc với AD (;)F AD F O . a/ Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn. b/ Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCF. c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh: CM.DB = DF.DO Bài 8: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D. a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp. b) Chứng minh rằng NO  AD c) Chứng minh rằng CA.CN = CO.CD Trang 7
8. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 Bài9 :Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đoạn thẳng OA, đường thẳng qua C vuơng gĩc với AB cắt đường trịn (O) ở P và Q. Lấy điểm D trên cung nhỏ BP, tiếp tuyến tại D với đường trịn (O) cắt đường thẳng PQ ở E. Gọi F là giao điểm của AD và PQ. a) Chứng minh tứ giác BCFD nội tiếp được trong một đường trịn b) Chứng minh ED = EF c) Chứng minh hệ thức ED2 = EP.EQ. MỘT SỐ BÀI TẬP KHAM KHẢO Bài tập 1: Cho đường trịn (O;R) từ một điểm M nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến tại A, B. a. Chứng minh bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường trịn. b. Kẻ cát tuyến MNP, gọi K là trung điểm NP. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc đường Chứng minh a) Chứng minh bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường trịn. Ta cĩ: OAM = 900 A thuộc đường trịn đường kính OM 0 Và: OBM = 90 A B thuộc đường trịn đường kính OM P K N Vậy bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường trịn O M đường kính OM. b. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc đường B Ta cĩ: Bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường trịn đường kính OM Mà: OK  NP (K là trung điểm của dây NP) K thuộc đường trịn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường trịn đường kính OM. Bài tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O) và tia phân giác gĩc A cắt đường trịn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng: a. OM đi qua trung điểm của dây BC. b. AM là tia phân giác của gĩc OAH. a. Chứng minh OM đi qua trung điểm của dây BC Ta cĩ: BAM CAM (AM là tia phân giác BAC ) BM MC Vậy OM vuơng gĩc tại trung điểm của dây BC b. Chứng minh AM là tia phân giác của gĩc OAH Trang 8
9. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 Ta cĩ : AH  BC (giả thiết) A Mà : OM  BC (c.m trên) AH // OM O HAM = AMO B H C Ta lại cĩ: OAM cân tại M (OA = OM) M AMO OAM HAM = OAM Vậy : AM là tia phân giác của gĩc OAH Bài tập 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O). Hai đường cao AM, BN cắt nhau tại H và cắt đường trịn (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng: a. Tứ giác HMCN nội tiếp đường trịn. b. CD = CE c. Tam giác BHD cân. a. Chứng minh tứ giác HMCN nội tiếp đường trịn. Xét tứ giác HMCN A Ta cĩ: CNH 900 (BN là đường cao) E N 0 O CMH 90 (AM là đường cao) H CNH + CMH 900 90 0 =180 0 C M B Vậy tứ giác HMCN nội tiếp D b. Chứng minh CD = CE Ta cĩ: DBC CAD (cùng chắn cung CD) Mà: CAD EBC (cùng phụ với gĩc ACB) Xét tứ giác HMCN Ta cĩ: (BN là đường cao) (AM là đường cao) + Vậy tứ giác HMCN nội tiếp Do đĩ : DBC EBC CD CE Vậy : CD = CE c. Chứng minh tam giác BHD cân. Xét BHD Ta cĩ: DBM HBM BM là tia phân giác gĩc DBH Mà: BM  DH Trang 9
10. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 BM là đường cao DBH Do đĩ: DBH cân tại B. Bài tập 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC vuơng gĩc AB, gọi M là điểm chính giữa của cung BC, AM cắt OC tại N. Từ C hạ CK vuơng gĩc với AM tại K. Chứng minh rằng: a. Tứ giác MNOB nội tiếp. b. Tứ giác OACK nội tiếp c. Tam giác OKC cân. d. AM.AN = 2R2. a. Chứng minh tứ giác MNOB nội tiếp. Xét tứ giác MNOB 0 Ta cĩ: NOB 90 (giả thuyết) C M 0 NMB 90 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) N K 0 0 0 NOB+ NMB 90 90 180 A O B Vậy tứ giác MNOB nội tiếp b. Chứng minh tứ giác OACK nội tiếp Xét tứ giác OACK Ta cĩ: AOC 900 (giả thuyết) AKC 900 ( giả thuyết) AOC = Vậy tứ giác OACK nội tiếp c. Chứng minh tam giác OKC cân. Xét OKC Ta cĩ: OCK OAK (cùng chắn cung OK) Mà: KOC KAC( MC MB) d. Chứng minh AM.AN = 2R2. Xét hai tam giác vuơng: AMB và AON Ta cĩ: MAB là gĩc chung. Nên: AMB ∽ AON AM AB AO AN Do đĩ: AM.AN = AB.AO = 2R2 Bài tập 5: Cho tam giác ABC cân tại A (A < 900), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trang 10
11. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 a. Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng thuộc đường trịn, Xác định tâm Ovà vẽ đường trịn này. b. Gọi K là giao điểm của AO và BC, chứng minh KD là tiếp tuyến của đường trịn (O) Chứng minh a. Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng thuộc đường trịn. Ta cĩ: ADH = 900 A D thuộc đường trịn đường kính AH O 0 Và: AEH = 90 2 E H 2 D 1 E thuộc đường trịn đường kính AH 1 Vậy bốn điểm A, D, E, H cùng nằm trên một đường trịn 1 B K C đường kính AH. Tâm O là trung điểm của đoạn thẳng AH b. Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường trịn (O) Ta cĩ AH là đường cao cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC * Xét BDC vuơng tại D, cĩ DK là đường trung tuyến Nên: BDK cân tại K BD11 0 Mặt khác: B11 H 90 Mà: HH12 (đối đỉnh) * Xét ODH cân tại O (OH = OD (bán kính)) HD22 0 Nên: D12 D 90 Do đĩ: ODK 900 Vậy: KD là tiếp tuyến của đường trịn (O) Bài tập 6: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh COD = 900. 3. Chứng minh OC // BM 4. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD. Trang 11
12. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 Chứng minh 1. Chứng minh AC + BD = CD. y x Ta cĩ: CA = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) I D Và: DB = DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) M AC + BD = CM + DM. C Mà CM + DM = CD AC + BD = CD A O B 2. Chứng minh COD = 900. Ta cĩ: OC là tia phân giác của gĩc AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OD là tia phân giác của gĩc BOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOM và BOM là hai gĩc kề bù COD = 900. 3. Chứng minh OC // BM Ta cĩ: = 900 (cm câu a) Nên : OC  OD (1) Mặt khác: DB = DM; Và: OM = OB =R OD là trung trực của BM BM  OD (2). Từ (1) Và (2) OC // BM (cùng vuơng gĩc với OD). 4. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD. Gọi I là trung điểm của CD Ta cĩ: I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD. Mà: AC  AB; BD  AB AC // BD tứ giác ACDB là hình thang. Lại cĩ I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB IO là đường trung bình của hình thang ACDB IO // AC, mà AC  AB IO  AB tại O AB là tiếp tuyến tại O của đường trịn đường kính CD Bài tập 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường trịn (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của gĩc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1. Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh BAF là tam giác cân. 3. Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi. 4. Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường trịn. Chứng minh 1. Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. Ta cĩ : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) KMF = 900 (hai gĩc kề bù). AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) Trang 12
13. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 0 KEF = 90 (vì là hai gĩc kề bù). x Do đĩ: KMF+ KEF = 1800 I Vậy EFMK là tứ giác nội tiếp. F 2. Chứng minh BAF cân. M Ta cĩ: IAE = MAE (AE là tia phân giác gĩc IAM) H E AE = ME K ABE = MBE (hai gĩc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) A B BE là tia phân giác gĩc ABF. (1) O Ta lại cĩ AEB = 900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BE  AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). Từ (1) và (2) suy ra BAF là tam giác cân tại B . 3. Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi. Ta cĩ: BAF cân tại B cĩ BE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến E là trung điểm của AF. (3) Mà: AF  HK (BE  AF) (4) Mặt khác: AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và (5) suy ra HAK cân tại A AE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến E là trung điểm của HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) suy ra AKFH là hình thoi 4. Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường trịn. Ta cĩ: AKFH là hình thoi HA // FK hay IA // FK tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường trịn AKFI phải là hình thang cân. Hình thang AKFI cĩ AIF = IAK (hai gĩc kề đáy của hình thang) Mà: IAK = ABM (cùng chắn cung AM) Nên: AIF = ABM Ta lại cĩ: IAB vuơng tại A Do đĩ: IAB vuơng cân tại A = 450 M là điểm chính giữa của cung AB Vậy khi M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường trịn. Bài tập 8: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. 2. Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. 3. Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB tại B, qua C kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AC tại C hai đường thẳng này cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng. Trang 13
14. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 1. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. Xét tứ giác ADHE A Ta cĩ: AEH 900 (CE là đường cao) 0 D Và: ADH 90 (BD là đường cao) E Nên: AEH ADH 900 90 0 180 0 H Vậy: Tứ giác ADHE nội tiếp. M 2.Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. B C Xét tứ giác BCDE Ta cĩ: BEC 900 (CE là đường cao) Và: BDC 900 (BD là đường cao) K Nên: BEC BDC 900 Vậy: Tứ giác BCDE nội tiếp. 3. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng. Ta cĩ: BH // KC (cùng vuơng gĩc AC) Và: BK // HC (cùng vuơng gĩc AB) Tứ giác BHCK là hình bình hành Mà: M là trung điểm của HK Nên: M là trung điểm HK Vậy : Ba điểm H, M, K thẳng hàng Bài tập 9: Cho đường trịn (O), đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B (B khác O và C). Gọi M là trung điểm AB. Qua M kẻ dây cung DE vuơng gĩc với AB tại M. Đường trịn đường kính BC cắt DC tại I. 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp. 2. Chứng minh ba điểm I, B, M thẳng hàng. 3. Chứng minh MI là tiếp tuyến đường trịn (K) 1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp. Xét tứ giác BMDI D Ta cĩ: BIC=900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) I BID=900 A C Mà BMD=900 (DE  AB) M O B K Nên: BID + BMD=1800 Vậy tứ giác BMDI nội tiếp. E 2. Chứng minh ba điểm I, B, M thẳng hàng. Ta cĩ: AB  DE (gt) MD = ME (đường kính vuơng gĩc với dây) Mà: AM = MB (gt) Nên tứ giác ADBE là hình thoi BE // AD (1) Ta lại cĩ: AD  DC ( ADC nội tiếp chắn nửa đường trịn) Và: BI  DC ( BIC nội tiếp chắn nửa đường trịn) BI // AD (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm I, B, M thẳng hàng. 3. Chứng minh MI là tiếp tuyến đường trịn (K) Trang 14
15. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 Ta cĩ: EMC EIC=900 Do đĩ: Tứ giác MEIC nội tiếp Mà: KIC BCI( IKC cân tại K) Mặt khác: BCI MEI (cùng chắn cung MI) MEI MDO (ADBE là hình thoi) MDO MIB(cùng chắn cung MO) Nên: MIB KIC Ta lại cĩ: BIK KIC=900 BIK MIB=900 MIK=900 Vậy MI là tiếp tuyến của đường trịn (K) Bài tập 10: Cho hình vuơng ABCD điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc DE, đường thẳng nay cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K 1. Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp 2. Tính gĩc CHK 3. Chứng minh KC.KD = KH.KB 1. Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp Xét tứ giác BHCD Ta cĩ: BCD=900 ( ABCD là hình vuơng) A B 0 BHD=90 (BH  DE) O E H Nên: BCD BHD=900 Vậy tứ giác BHCD nội tiếp D K 2. Tính gĩc CHK C Ta cĩ: CHK=BDC( cùng bù với gĩc BHC) Mà: BDC 450 ( ABCD là hình vuơng) CHK 450 3. Chứng minh KC.KD = KH.KB Xét: KHC và KDB Ta cĩ: CHK BDC 450 DKB là gĩc chung KHC ∽ KDB KC KH = KB KD KC. KD = KH.KB. Bài tập 11: Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm AC, kẻ đường trịn đường kính MC cắt BC tại E và cắt BM kéo dài tại D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O). Xác định tâm O. b) Chứng minh OM là tiếp tuyến đường trịn đường kính MC. c) Chứng minh DB là tia phân giác gĩc ADE Trang 15
16. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Xét tứ giác ABCD 0 Ta cĩ: BAC 90 ( ABC vuơng tại A) B 0 BDC 90 MDC gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) O ( E 0 Nên: BAC BDC 90 C A M Vậy tứ giác ABCD nội tiếp Tâm O là trung điểm BC D b) Chứng minh OM là tiếp tuyến đường trịn đường kính MC. Ta cĩ OB = OC (c.m trên) MA = MC (giả thuyết) OM là đường trung bình của ABC OM // AB Mà: AB  AC OM  AC tại M Vậy OM là tiếp tuyến đường trịn đường kính MC. c) Chứng minh DB là tia phân giác gĩc ADE Ta cĩ: EDB ECM (cùng chắn cung ME) ECM BDA (cùng chắn cung AB) Nên: EDB BDA Vậy: BD là tia phân giác gĩc ADE Bài tập 1: Hai vịi nước cùng chảy đầy một bẻ khơng cĩ nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vịi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vịi chảy sau lâu hơn vịi trước 4 h . Giải Gọi thời gian vịi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ ) Gọi thời gian vịiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ ) 1 1 giờ vịi đầu chảy được ( bể ) x 1 1 giờ vịi sau chảy được ( bể ) y 1 1 1 giờ hai vịi chảy được + ( bể ) (1) x y 15 Hai vịi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = h 4 15 4 Vậy 1 giờ cả hai vịi chảy được 1: = ( bể ) ( 2) 4 15 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình + = Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vịi sau chảy lâu hơn vịi trước 4 giờ tức là y – x = 4 Vậy ta cĩ hệ phương trình Trang 16
17. Trường THCS-THPT Trưng Vương Ơn tậpH KII năm học 2021-2022 + = y – x = 4 x 6 1 1 4 x 6 (a) 4x2 14x 60 0 2x2 7x 30 0 y 10 x 2,5 x x 4 5 y x 4 y x 4 x 2,5 y x 4 y x 4 (b) y 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn Hệ (b) bị loại vì x < 0 Vậy Vịi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h Vịi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h Bài tập 2: Hai người thợ cùng làm một cơng việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi người nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai người cùng làm thì hai người chỉ làm việc đĩ trong 6 giờ. Như vậy , làm việc riêng rẽ cả cơng việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian ? Giải Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa cơng việc là x ( x > 0 ) Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa cơng việc là y ( y > 0 ) 1 Ta cĩ pt : x + y = 12 ( 1 ) 2 thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong cơng việc là 2x => 1 giờ người thứ nhất 1 làm được cơng việc 2x Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong cơng việc là 2y => 1 giờ người thứ hai 1 làm được cơng việc 2y 1 1 1 giờ cả hai người làm được cơng việc nên ta cĩ pt : + = (2) 6 6 1 x y 12 x 5 15 2 x Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt : 15  2 1 1 1 y 2 y 5 2x 2y 6 Vậy nếu làm việc riêng1 1rẽ cả cơng việc một người làm trong 10 giờ cịn người kia làm trong 5 giờ x y CHÚC CÁC EM HỌC TỐT. 4 15 Trang 17