Tài liệu ôn tập Covid 19 môn Toán Lớp 11 - Giới hạn của dãy số

Nội dung tài liệu: Tài liệu ôn tập Covid 19 môn Toán Lớp 11 - Giới hạn của dãy số

1. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Yêu Cầu Cần Đạt 1. HS học kỹ lý thuyết được cung cấp bên dưới và nghiên cứu thật kỹ các ví dụ minh họa để hiểu bài. 2. HS giải 20 câu trắc nghiệm kèm theo vào giấy tập hoặc giấy A4 rồi nộp lại cho GVBM khi vào học lại. 3. Thời hạn hoàn thành là 04/04/2020. HS nào làm xong thì báo với GVCN là em đã làm xong (chưa cần nộp bài), để GVCN báo cáo kết quả cho BGH. 4. Khi vào học lại GVBM thu bài và chấm điểm để lấy 1 cột điểm kiểm tra thường xuyên với hệ số 1. Trang 1 / 17
2. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN BÀI 1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 PHẦN 1 LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: limun 0 hay limun 0 hay un 0 khi n . n 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) limuunn 0 lim 0 ; hay lim0 0 ; 1 1 * 1 1 b) lim 0 ; limk 0, kk 0, ; lim 0 ;lim 0 ; n n n 3 n c) limqn 0 nếu q 1; d) Cho hai dãy số un và vn Nếu uvnn với mọi n và limvn 0 thì limun 0 . 3. Định lí về giới hạn hữu hạn a) Nếu limuan và limvbn và c là hằng số. Khi đó ta có : lim unn v a b lim unn v a b un a lim unn .v a . b lim , b 0 vbn 3 3 lim c . un c . a . lim uan và lim uan Nếu un 0 với mọi n thì a 0 và lim uan . b) Cho ba dãy số uvnn , và wn . Nếu un v n w n ,  n và limunn lim w a , a thì limvan (gọi định lí kẹp). c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. 4. Kỹ năng sử dụng máy tính 10 Tính limun thì nhập un và ấn phím CALC n 10 . n Trang 2 / 17
3. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng PHẦN 2 CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài toán. Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Dãy số un có giới hạn bằng 0 khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. Dãy số có giới hạn bằng khi dần tiến tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Dãy số có giới hạn bằng khi dần tiến tới dương vô cực, nếu có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Dãy số có giới hạn bằng khi dần tiến tới dương vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Lời giải Chọn B. Dựa vào định nghĩa về giới hạn 0 . Ví dụ 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai? A. Dãy số vn có giới hạn là số a khi n nếu lim van 0 . n B. Dãy số dần tới số khi nếu lim van 0 . C. Nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi dần tiến tới dương vô cực, kể từ một số hạng nào đó trở đi thì dãy số có giới hạn bằng . D. Dãy số dần tới số khi n nếu . Lời giải Chọn D. Các dựa vào định nghĩa mệnh đề A,B,C là các mệnh đề đúng. Chú ý limun viết tắt thành limun . n Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? 1 A. lim 1. B. limqqn 0, 1. n n n C. lim 1n 0. D. limqqn 0, 1. n n Lời giải Chọn D. Trang 3 / 17
4. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Dựa vào một số giới hạn đặc biệt: 1 lim 0; limqqn 0; 1 ta có khẳng định D là đúng. n n n Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai? 1 A. lim 0,k . B. limc c ; c const . nk c 1 C. lim 0, c const . D. lim 0,k * . n n nk Lời giải Chọn B. Dựa vào một số giới hạn đặc biệt: ; ta có khẳng định B là đúng. Ví dụ 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? 2 A. lim 2 . B. limqqn 0, 1. n n2 n n 1 n C. lim 0. D. lim 2 0. n n n Lời giải Chọn C. Dựa vào một số giới hạn đặc biệt: vn ; ta có khẳng định C là đúng. Ví dụ 6: Cho hai dãy số un và , khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu unn  v n và limvn 0 thì có limun 0 . B. Nếu unn  v n và thì có . C. Nếu unn  v n và thì có . D. Nếu unn  v n và limvan ( a là hằng số) thì có . Lời giải Chọn A. Theo định nghĩa của dãy số un có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là ) nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước,kể từ một số hạng nào đó trở đi. Từ unn  v n uvnn và thì ta luôn có vn có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước,kể từ một số hạng nào đó trở đi. Tức là có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước,kể từ một số hạng nào đó trở đi. Trang 4 / 17
5. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Vậy . Ví dụ 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. limunn 0 lim u a 0 a const . B. limuunn 0 lim 0 . C. Dãy số không đổi un , với uan , có giới hạn là 0 . D. Dãy số không đổi , với un 0, có giới hạn là a . Lời giải Chọn B. Theo định nghĩa dãy số có giới hạn ( hay có giới hạn là ) nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước,kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đo ta có dãy un cũng có giới hạn là 0 khi dãy có giới hạn và ngược lại. Ví dụ 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai? n 1 1 1 1 A. lim 0 . B. lim 0 . C. lim 1. D. lim 0. 3 n n2 n3 n Lời giải Chọn C. 1 Dựa vào một số giới hạn đặc biệt có, k . Có đáp án C sai lim 0 . n nk Ví dụ 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? 1 3 A. lim 1. B. lim 3 . n nk 1 1 C. lim 1. D. lim 0 . limu 0 n n n n Lời giải Chọn D. 1 Dựa vào giới hạn đặc biệt ta có lim 0 . n Ví dụ 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai? 1 A. lim  0, k . nk un 0 un A B. lim  0, A. n C. Dãy số không đổi un , với un 0 có giới hạn 0. D. limuunn 0 lim 0 . Trang 5 / 17
6. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Lời giải Chọn A. Các dựa vào định nghĩa mệnh đề C,D là các mệnh đề đúng. 1 Dựa vào các giới hạn đặc biệt: lim 0 có B đúng. n Chú ý viết tắt thành . 1 Có limk 0 k nên A chưa đúng. n DẠNG 2. TÌM GIỚI HẠN 0 CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lí giới hạn để giải quyết bài toán. Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n n n n 4 4 5 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. n 1 1 Cách 1: Ta có lim 0 vì q 1. 3 3 Cách 2: (phương pháp loại trừ). Các dãy số ở các phương án A, B, C đều có dạng limqn nhưng q 1 nên không có giới hạn 0, do đó loại phương án A, B, C. n 1 Cách 3: Sử dụng MTCT tính lim . Nhập vào màn hình. n 3 Bấm CALC, nhập 1010 . Ấn phím = được kết quả là 0 nên chọn đáp án D. Ví dụ 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 1 1 n 1 sin n A. . B. . C. D. . n n n n Lời giải Chọn C.lim un limun n Cách 1: Từ các định lí ta thấy các giới hạn ở phương án A, B đều có giới hạn bằng 0 11 sin n 1 1 sin n lim lim 0 . Ở phương án C, vì và lim 0 nên lim 0 , do đó n n nn n n loại phương án D. n 1 1 1 Cách 2: Ta có lim lim 1 lim1 lim 1 0 1. n n n Trang 6 / 17
7. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng n 1 Cách 3: Sử dụng MTCT tính lim . Nhập vào màn hình. n n Bấm CALC, nhập . Ấn phím = được kết quả là 1 nên chọn đáp án C. Ví dụ 3: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? A. 0,999 n . B. 1,01 n . C. 1,01 n . D. 2,001 n . Lời giải Chọn A. Cách 1: Ta có lim 0,999 n 0 vì q 0,999 1. Cách 2: (phương pháp loại trừ). Các dãy số ở các phương án A, B, C đều có dạng nhưng nên không có giới hạn 0, do đó loại phương án B, C, D. Cách 3: Sử dụng MTCT tính lim 0,999 n . Nhập vào màn n hình. Bấm CALC, nhập . Ấn phím = được kết quả là 0 nên chọn đáp án A. Ví dụ 4: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? nn2 2 12 n 12 n2 12 n A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 55nn 2 55n 55n 55nn 2 limqn Lời giải Chọnq 1 D. 2 12 n 2 1 2n nn 0 Cách 1: Ta có lim2 lim 0 . 5nn 52 5 5 1010 n 5 n Cách 2: Sử dụng MTCT tính . Nhập vào màn hình. Bấm CALC, nhập . Ấn phím = được kết quả là một số dương rất nhỏ nên chọn đáp án D. 1 n Ví dụ 5: lim bằng nn 1 A. 1. B. 1. C. . D. 0. Lời giải Chọn D. Trang 7 / 17
8. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng n n 1 1 1 1 1 1 Cách 1: Ta có mà lim 0 nên suy ra lim 0 n n 1 n n 1 n . n n2 n2 nn 1 Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào như màn hình bên. Bấm CALC, nhập . Ấn phím = được kết quả là một số dương rất nhỏ nên chọn đáp án D. n n 1 Nhận xét: Dãy 1 không có giới hạn nhưng mọi dãy , trong đó limv thì v n n có giới hạn bằng 0. 46nn 12 Ví dụ 6: lim bằng: 58nn 6 4 A. 0 . B. . C. 36. D. . 8 5 Lời giải Chọn A. nn 46 nn 12 4. 36. 46 88 Cách 1: limnn limn 0 . 58 5 1 8 Cách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự như ví dụ trên. Ta thấy kết quả tính toán với X 100 là một số dương rất nhỏ. Do đó chọn đáp án giới hạn bằng 0 . Nhận xét: Khi sử dụng máy tính cầm tay, nếu nhập giá trị X quá lớn, máy sẽ báo lỗi do giá trị của aan ,1 tăng rất nhanh khi X tăng, nên vượt quá khả năng tính toán của máy. Khi đó cần 1010 thử lại các giá trị khác của X. Như vậy các bài toán chứa ta không nên tính với n quá lớn. n 14 Ví dụ 7: lim bằng nn 1 1 A.1. B. 1. C. 0 . D. . 2 Lời giải Chọn C. 1 1 4 n 1 42 0 Cách 1: Ta có lim limn n n 0 . nn 1 1 1 1 1 nn2 Trang 8 / 17
9. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào như màn hình bên. Bấm CALC, nhập 109 . Ấn phím = được kết quả là một số dương rất nhỏ nên chọn đáp án C. Trang 9 / 17
10. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng BÀI 2. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số: Định lí 1: Nếu limunn a ,lim v b thì + lim unn v a b + lim unn v a b un a + lim unn . v a . b + lim (nếu b 0) vbn + lim unn a u 0,  n + lim uan Định lí 2: Cho ba dãy số un , v n v à w n . * vn u n w, n  n Nếu thì limuan limvnn lim w a Hệ quả: (Định lí kẹp) Cho hai dãy số un và vn * unn v,  n Nếu thì limun 0 limvn 0 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 2 u1 S u1 u 1 q u 1 q .... q 1 1 q B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Pn DẠNG 1. Dãy số u có u (trong đó P n , Q n là các đa thức của n) n n Qn 1.1 Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho nk với nk là lũy thừa có số mũ cao nhất của P n , Q n , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn 1.2 Các ví dụ 5nn2 3 7 Ví dụ 1. limu , với u bằng: n n n2 A. 0. B. 5. C. 3. D. 7. Đáp án B Hướng dẫn giải 5nn2 3 7 3 7 Cách 1: Ta có: limun lim 2 2 2 lim 5 2 5. n n n n n Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên. Đây không phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số hạng với n khá lớn, trong khi n dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đó là đáp án B. 42nn2 Ví dụ 2. Tính giới hạn lim 21nn2 A. – 4 B. – 2 C. 2 D. 4 Đáp án B Trang 10 / 17
11. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Hướng dẫn giải: 12 2 4 4nn 22 4 Cách 1: lim limnn 2 2 11 2nn 12 2 nn2 Cách 2: Quan tâm đến hệ số của số hạng có số mũ cao nhất của tử và mẫu, khi đó ta có thể xem 4n2 u , rút gọn ta được – 2. Vậy giới hạn cần tìm bằng – 2 . n 2n2 Ví dụ 3. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? 32 n3 23n2 23nn 3 23nn24 A. lim B. lim C. lim D. lim 21n2 24n3 21n2 2nn32 Đáp án B Hướng dẫn giải: 3 2 2 2n 3 1 2 Cách 1: lim lim .n 0 3 4 24nn 2 n3 Cách 2: Ta quan tâm đến hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu, ta có thấy bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu, sau khi rút gọn ta được kết quả giới hạn bằng 0 Pn DẠNG 2. Dãy số u có u (trong đó Pn và Qn là các biểu thức chứa căn của n . n n Qn 2.1. Phương pháp giải Đánh giá bậc của tử và và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫy cho nk với k là số mũ lớn nhất của Pn và Qn (hoặc rút nk là lũy thừa lớn nhất của Pn và Qn ra làm nhân tử. Áp dụng các định lí về giới hạn để tìm giới hạn 2.2. Các ví dụ 21n Ví dụ 1. Tìm lim . n 1 A.1. B. 2 . C.3 . D. 2 . Đáp án D Hướng dẫn giải 1 2 21n Cách 1. lim limn 2 . n 11 1 n 2n Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem u , sau đó rút n n gọn ta được 2 . Vậy giới hạn cần tìm là 2 . 22nn Ví dụ 2. Tìm lim . n A. 21 . B. 0 . C.1. D. . Đáp án A Hướng dẫn giải Trang 11 / 17
12. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng 2 21 22nn Cách 1. lim limn 2 1. n 1 2nn Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem u 21 , n n sau đó rút gọn ta được 21 . Vậy giới hạn cần tìm là . 3 nn3 Ví dụ 3. Tìm lim . 32n 3 1 A. 2 . B. 1. C. . D. . 2 3 Đáp án D Hướng dẫn giải 1 3 1 3 nn3 2 1 Cách 1. lim lim n . 2 3n 23 3 n 3 n3 Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem u , sau đó rút gọn n 3n 1 ta được . Vậy giới hạn cần tìm là . 3 DẠNG 3. Nhân với một lượng liên hợp 2.1. Phương pháp giải Sử dụng các công thức nhân liên hợp. ab22 ab 22 ab a b a b a b ab22 ab ab ab33 ab33 ab ab . a22 ab b a22 ab b 2 3 3 3 2 a b a a. b b 3 3 ab ab 22 . 3a 3 a.. b b22 3 a 3 a b b 2 3 3 3 2 a b a a. b b 3 3 ab ab 22 3a 3 a.. b b22 3 a 3 a b b 2 3 2 3 3 a b a a. b b 3 3 ab ab 22 a22 a..3 b 3 b a a 3 b 3 b 2 3 2 3 3 a b a a. b b 3 3 ab ab 22 a22 a..3 b 3 b a a 3 b 3 b Trang 12 / 17
13. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng 22 3a 3 b 3 a 3 a. 3 b 3 b 33 ab ab 2 2 2 2 . 3a 3 a.. 3 b 3 b 3 a 3 a 3 b 3 b 22 3a 3 b 3 a 3 a. 3 b 3 b 33 ab ab 2 2 2 2 3a 3 a.. 3 b 3 b 3 a 3 a 3 b 3 b Ví dụ 1. Tìm lim n2 3 n 5 n . 3 3 A. 0 . B. . C. . D. 1 . 5 2 Đáp án C Hướng dẫn giải n22 3 n 5 n n 3 n 5 n Cách 1. limn2 3 n 5 n lim n2 35 n n 5 3 35n 3 lim lim n . 2 35 2 n 35 n n 11 nn2 Cách 2. Nhân với một lượng liên hợp, sau đó rút gọn và làm như cách 2 ở trên. Nhận xét: Khi nào sử dụng nhân với lượng liên hợp? 35  Khi u n2 3 n 5 n n 1 1 . Trong đó, n 2 nn 35 limn ,lim 1 1 , khi đó limu có dạng .0 (đây là một dạng vô 2 n nn định) và ta không thể tính giới hạn củ un theo hướng này.  Vậy khi nào thì chọn cách nhân với một lượng liên hợp??? 2 Cụ thể với un n 35 n n xét ở trên trong căn ta chỉ quan tâm đến biểu thức có 2 2 chứa n là cao nhất, còn lại bỏ hết, khi đó ta có thể xem un n n 0, khi có điều này thì ta sẽ tìm giới hạn theo hướng nhân với một lượng liên hợp.  Một ví dụ sau cho thấy ta không cần nhân với một lượng liên hợp. 2 Ví dụ un 2 n 3 n 5 n xét ở trên trong căn ta chỉ quan tâm đến biểu thức có chứa 2 là cao nhất, còn lại bỏ hết, khi đó ta có thể xem un 2 n n n 2 1 , trong đó 2 1 0 và limn , nên giới hạn của un là . 35 Cụ thể ta làm như sau: lim 2n2 3 n 5 n limn 2 1 2 nn Ví dụ 2. Tìm lim 9n2 3 n 4 3 n 2 . 1 5 A. . B. . C.3 . D. . 3 2 Đáp án D Trang 13 / 17
14. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Hướng dẫn giải Cách 1. 9n22 3 n 4 3 n 9 n 3 n 4 3 n lim 2 9n2 3 n 4 3 n 4 3 34n n 35 lim 2 lim 2 2 2 34 3 3 2 9n 3 n 4 3 n 93 2 nn Cách 2. Nhân với một lượng liên hợp, sau đó rút gọn và làm như cách 2 ở trên. Ví dụ 3. Tìm lim 3n 3 3 n 2 n . 1 A. 1. B. 0 . C. . D. . 3 Đáp án A Hướng dẫn giải Cách 1. Pn 2 3 3 2 3 2 3 3 2 2 un n 3 n n3 nPn 3 n Qn n n 3 n n Qn lim 2 3 n3 33 n 2 n 3 n 3 n 2 n 2 3n2 3 lim lim 1 2 2 2 3 n3 33 n 2 n 3 n 3 n 2 n 2 33 3 1 3 1 1 nn Cách 2. Nhân với một lượng liên hợp, sau đó rút gọn và làm như cách 2 ở trên. DẠNG 4. (trong đó và là các biểu thức chứa hàm mũ abcn, n , n ,... 4.1. Phương pháp giải Chia cả tử và mẫu cho an trong đó a là cơ số lớn nhất. 4.2. Các ví dụ 12 n Ví dụ 1. Tìm lim . 12 n 2 A. . B. 1 . C.1. D. 2 . 3 Đáp án B Hướng dẫn giải n 1 n 1 12 2 Cách 1. limn limn 1 12 1 1 2 lim 9n2 3 n 4 3 n 2 2n Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa 2n ở tử và mẫu, ta có thể xem u rút gọn ta n 2n 3 được 1, đó chính là giới hạn cần tìm. Trang 14 / 17
15. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng 4n Ví dụ 2. Tìm lim . 2.3nn 4 1 4 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3 Đáp án A Hướng dẫn giải 41n Cách 1. limnn limn 1 2.3 4 3 2. 1 4 Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 4 ở tử và mẫu, ta có thể 4n xem u rút gọn ta được 1, đó chính là giới hạn cần tìm. n 4n 24nn Ví dụ 3. Tìm lim . 43nn 3 A. . B. . C. . D. . 4 Đáp án A Hướng dẫn giải n 1 nn 1 24 2 Cách 1. limnn limn 1 43 3 1 4 Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 4 ở tử và mẫu, ta có thể xem rút gọn ta được , đó chính là giới hạn cần tìm. 3.2nn 5 Ví dụ 4. Tìm lim . 5.4nn 6.5 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 6 5 5 Đáp án B Hướng dẫn giải n 2 nn 31 3.2 5 5 1 Cách 1. limnn lim n 5.4 6.5 4 6 56 5 Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể 5n 1 xem u rút gọn ta được , đó chính là giới hạn cần tìm. n 6.5n 6 3nn 2.5 Ví dụ 5. Tìm lim . 7 3.5n 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 7 3 Đáp án D Hướng dẫn giải Trang 15 / 17
16. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng n 3 nn 2 3 2.5 5 2 Cách 1. limn lim n . 7 3.5 1 3 73 5 Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể 2.5n 2 xem u rút gọn ta được , đó chính là giới hạn cần tìm. n 3.5n 3 4.3nn 7 1 Ví dụ 6. Tìm lim . 2.5nn 7 1 A. 2 . B. . C. 7 . D. 1. 7 Đáp án C Hướng dẫn giải n 3 n n 1 n n 47 4.3 7 4.3 7.7 7 Cách 1. limn n lim n n limn 7 . 2.5 7 2.5 7 5 21 7 Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 7 ở tử và mẫu, ta có thể 7n 1 xem u rút gọn ta được 7 , đó chính là giới hạn cần tìm. n 7n Trang 16 / 17
17. Giới Hạn Của Dãy Số Tổ Toán Phạm Hùng Bài Tập Tự Luyện (giải vào giấy và nộp lại cho GVBM) Tìm giới hạn 32n32 n n n2 1 1. lim 2. lim n3 4 21nn4 21n 2nn 3 3. lim 4. lim 32 32 nn 43 4nn 3 1 5. lim n2 n n 6. lim n2 n 1 n 7. lim 4n22 n 4 n 2 8. lim n n22 1 n 2 9. lim n2 2 n n 3 10. lim 4n2 3 n 1 2 n 1 11. lim 1 n24 n 3 n 1 12. lim n n 1 n 13. lim 33nn 2 14. lim 3 n n3 n 2 n 3nn 5.4 3 4.5n 1 15. lim 16. lim 42nn 2.4nn 3.5 4.3nn 5 1 3nn 2.5 17. lim 18. lim 3.2nn 5 7 3.5n n 23n 3.2nn 11 2.3 19. lim 20. lim 4n 43 n Trang 17 / 17