Đề cương ôn tập Covid 19 môn Toán Lớp 9 - Chủ đề: Phương trình bậc nhất hai ẩn - Năm 2020 - Võ Quốc Trường

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Covid 19 môn Toán Lớp 9 - Chủ đề: Phương trình bậc nhất hai ẩn - Năm 2020 - Võ Quốc Trường

1. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax by c (1) trong đĩ a, b, c là các số đã biết (a 0 hoặc b 0). Nếu x0,y0 thoả (1) thì cặp số (x0; y0) đgl một nghiệm của phương trình (1). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của (1) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x0; y0) được biểu diễn bởi điểm (x0; y0) . 2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c luơn cĩ vơ số nghiệm. Tập nghiệm của nĩ được biểu diễn bởi đường thẳng ax by c (d). a c Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số y x . b b c Nếu a 0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax c x và đường thẳng (d) song a song hoặc trùng với trục tung. c Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình trở thành by c y và đường thẳng (d) song b song hoặc trùng với trục hồnh. Bài 1.Trong các cặp số (0; 4), (–1; 3), (1; 1), (2; 3), (4; 6), cặp số nào là nghiệm của phương trình: a) 5x 3y 2 b) 2x y 7 c) 2x y 2 ĐS: Bài 2.Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nĩ: a) 3x y 1 b) x 2y 5 c) 2x 3y 5 d) 3y x 2 e) 4x 0y 12 f) 0x 3y 6 ĐS: Bài 3.Cho đường thẳng (d) cĩ phương trình: (m 1)x (3m 4)y 2m 5. Tìm m để: a) (d) song song với trục hồnh. b) (d) song song với trục tung. c) (d) đi qua gốc toạ độ. d) (d) đi qua điểm A(2; –1). ĐS: Bài 4.Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: a) 2x y 0 b) 3x 2y 5 c) 2x 5y 15 d) 5x 11y 4 e) 7x 5y 143 f) 23x 53y 109 x t x 2t 1 x 5t x 11t 3 ĐS: a) (t Z) b) c) d) y 2t y 3t 1 y 2t 3 y 5t 1 1 Trường THCS Cao Bá Quát
2. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   x 5t 4 x 53t 16 e) f) y 7t 23 y 23t 9 Bài 5.Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: a) 11x 8y 73 b) 5x 7y 112 c) 5x 19y 674 d) 2x 3y 7 e) 7x 13y 71 x 3 x 7 x 14 x 21 ĐS: a) b) ; ; y 5 y 11 y 6 y 1 x 17 x 36 x 55 x 74 x 93 x 112 x 131 c) ; ; ; ; ; ; y 31 y 26 y 21 y 16 y 11 y 6 y 1 x 3t 2 d) (t Z,t 1) e) khơng cĩ nghiệm nguyên dương. y 2t 1 Bài 6. a) ĐS: II. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: a x b y c 1 1 1 (I) a2x b2y c2 Nếu hai phương trình trên cĩ nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) đgl một nghiệm của hệ (I). Nếu hai phương trình trên khơng cĩ nghiệm chung thì ta nĩi hệ (I) vơ nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nĩ. 2. Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng (d1) : a1x b1y c1 và (d2) : a2x b2y c2 . Nếu (d1) cắt (d2) thì hệ (I) cĩ một nghiệm duy nhất. Nếu (d1) // (d2) thì hệ (I) vơ nghiệm. Nếu (d1)  (d2) thì hệ (I) cĩ vơ số nghiệm. 3. Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình đgl tương đương nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm. Bài 1.Đốn nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích vì sao: 2x y 3 3x 2y 0 3x 0y 6 a) b) c) 3x y 1 2x 3y 0 2x y 1 x y 1 x y 4 x 2y 3 d) e) f) x y 1 0x y 2 2x 4y 1 2 2 2 2 Trường THCS Cao Bá Quát
3. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   ĐS: a) 1 nghiệm b) 1 nghiệm c) 1 nghiệm d) 1 nghiệm e) vơ nghiệm f) vơ số nghiệm. Bài 2.Bằng đồ thị chứng tỏ các hệ phương trình sau luơn cĩ nghiệm duy nhất với bất kì giá trị nào của a: x a x y 3 a) b) x y 1 y a 3x y 1 Bài 3.Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình: ax 2y 3 a) Cĩ nghiệm duy nhất với a 2 .b) Vơ nghiệm với a 6 . 3x 2y a Bài 4.Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình: 15x 10y 5 a) Cĩ vơ số nghiệm với a 1. b) Vơ nghiệm với a 1. Bài 5.Xác định m để hệ phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất: 2x y 1 a) x y 2 mx y 2m ĐS: a) m 1 Bài 6.Xác định a để hai hệ phương trình sau là tương đương: 2x 3y 5 2x 3y 5 x y 2 2ax 2y 1 a) và b) và 4x y 3 12x 3y a 3x y 1 x ay 2 ĐS: a) a 9 b) a 1 III. GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương pháp thế Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ cịn một ẩn). Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia). 2. Phương pháp cộng đại số Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ nguyên phương trình kia). Chú ý: Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, cĩ thể nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đĩ trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau. Đơi khi ta cĩ thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình với hai ẩn mới, rồi sau đĩ sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên. Bài 1.Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 3 Trường THCS Cao Bá Quát
4. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   4x y 2 3x 2y 11 5x 4y 3 a) b) c) 8x 3y 5 4x 5y 3 2x y 4 4x 3 x y x y 5x 2y x y 19 d) 5 e) 5 3 f) 3 5 15 9y x y 3y x 3y 1 4x 21 14 4 2 2 1 19 14 ĐS: a) ;1 b) (7;5) c) ; d) (12; 3) e) (8;2) f) (9; 10) 4 13 13 Bài 2.Giải các hệ phương trình sau: x 2y 4(x 1) 9x 6y 4 a) b) 5x 3y (x y) 8 3(4x 3y) 3x y 7 3(x 1) 2y x 2(2x 3y) 3(2x 3y) 10 c) d) 5(x y) 3x y 5 4x 3y 4(6y 2x) 3 ( 3 2)x y 2 (x 5)(y 2) (x 2)(y 1) e) f) x ( 3 2)y 6 (x 4)(y 7) (x 3)(y 4) 5 ĐS: a) vơ số nghiệm b) vơ nghiệm c) vơ nghiệm d) ;1 e) vơ nghiệm 2 f) (7;5) Bài 3.Giải các hệ phương trình sau: 2x 3 y 13 3 x 2 y 2 2 x 1 y 1 1 a) b) c) 3x y 3 2 x y 1 x 1 y 1 2 4 5 5 2 1 3 x y 1 2x y 3 2 x y x y (x 1)2 2y 2 d) e) f) 3 1 7 1 3 2 1 3(x 1) 3y 1 x y 1 2x y 3 5 x y x y 4 33 10 19 77 63 ĐS: a) (2;3), ; b) (0;1) c) (2;2) d) ; e) ; 7 7 3 3 20 20 2 2 5 f) 1 ; 3 9 Bài 4.Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx y 2m mx y 3m 1 a) b) 4x my m 6 x my m 1 ĐS: a b m 2 m 2 m 2 m 1 m 1 m 1 ) ) 2m 3 m x R vơ 3m 1 m 1 x R vơ ; ; m 2 m 2 y 2x 4 nghiệ m 1 m 1 y 2 x nghiệ m m 4 Trường THCS Cao Bá Quát
5. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   Bài 5.Tìm m nguyên để hệ phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: mx 2y m 1 (m 1)x 2y m 1 a) b) 2 2 2x my 2m 1 m x y m 2m ĐS: a) m { 1; 3;1; 5} b) m { 1;0;2;3} Bài 6.Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: 4x 3y 13 7x 5y 19 7x 5y 3 a) b) c) 5x 3y 31 3x 5y 31 3x 10y 62 x 5y 5 3x 2y 8 2x 3y 2 d) e) f) 3x 2y 11 4x 3y 12 3x 2y 3 ĐS: a) ( 2;7) b) ( 3;8) c) (4;5) d) (5; 2) e) (0;4) f) ( 1;0) Bài 7.Giải các hệ phương trình sau: 3(x 1) 2y x 2x 5 (x y) x y 2(x 1) a) b) c) 5(x y) 3x y 5 6x 3y y 10 7x 3y x y 5 2x 3y 1 x 2 2y 5 ( 2 1)x y 2 d) e) f) x 3y 2 2x y 1 10 x ( 2 1)y 1 2 1 ĐS: a) vơ nghiệm b) vơ số nghiệm c) vơ nghiệm d) 1; 3 2 2 3 5 1 2 10 e) ; f) 5 5 Bài 8.Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: a) A(2; 1), B(1; 2) b) A(1; 3), B(3; 2) c) A(1; –3), B(2; 3) d) A(–1; 1), B(2; 3) e) A(2; –2), B(–1; –2) f) A(1; 0), B(1; –6) 1 7 2 5 ĐS: a) y x 3 b) y x c) y 6x 9 d) y x e) y 2 f) x 1 2 2 3 3 Bài 9.Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường thẳng cĩ phương trình sau luơn đi qua một điểm cố định: a) ( 5m 4)x (3m 2)y 3m 4 0 b) (2m2 m 4)x (m2 m 1)y 5m2 4m 13 0 ĐS: a) (3;4) b) (3;1) Bài 10. Giải các hệ phương trình sau: a) ĐS: IV. GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bước 1: Lập hệ phương trình: + Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng. + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ hai phương trình nĩi trên. Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với 5 Trường THCS Cao Bá Quát
6. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   bài tốn (thoả mãn điều kiện ở bước 1) và kết luận. Dạng 1: Tốn về quan hệ giữa các số Bài 1.Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nĩ bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đĩ tăng thêm 27 đơn vị. ĐS: 47. Bài 2.Tìm một số tự nhiên cĩ ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đĩ giảm đi 99 đơn vị. ĐS: 746. Bài 3.Tìm một số tự nhiên cĩ ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đĩ cho 11 thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia. ĐS: 198. Bài 4.Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đĩ bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị. ĐS: 12 và 5 hoặc 4 và 13. Bài 5. ĐS: Dạng 2: Tốn làm chung cơng việc Bài 1.Hai vịi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vịi I chảy trong 4 giờ, vịi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vịi chảy được 3 bể. Tính thời gian để mỗi vịi 4 chảy riêng một mình đầy bể. ĐS: 8 giờ và 12 giờ. Bài 2.Để hồn thành một cơng việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hồn thành cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong cơng việc đĩ. ĐS: Bài 3.Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì cơng việc được hồn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa cơng việc thì thời gian hồn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian. ĐS: Bài 4. ĐS: Dạng 3: Tốn chuyển động Bài 1.Một ơ tơ đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ơ tơ. ĐS: 40 km/h; 3 giờ. Bài 2.Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km. Cùng lúc, một canơ đi xuơi dịng thừ A đến B và một canơ đi ngược dịng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi canơ, biết rằng vận tốc canơ đi xuơi dịng lớn hơn vận tốc canơ đi ngược 6 Trường THCS Cao Bá Quát
7. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   dịng là 9 km/h và vận tốc dịng nước là 3 km/h (vận tốc thật của các canơ khơng đổi). ĐS: 27 km/h; 24 km/h. Bài 3.Quãng đường AB dài 200 km. Cùng lúc một xe máy đi từ A đến B và một ơ tơ đi từ B đến A. Xe máy và ơ tơ gặp nhau tại điểm C cách A 120 km. Nếu xe máy khởi hành sau ơ tơ 1 giờ thì gặp nhau tại điểm D cách C 24 km. Tính vận tốc của ơ tơ và xe máy. ĐS: 60 km/h; 40 km/h. Bài 4.Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h. Do đĩ xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100 km. ĐS: Bài 5.Một người đi xe máy từ A đến B. Vì cĩ việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 45 phút nên người đĩ tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà người đĩ dự định đi, biết quãng đờng AB dài 90 km. ĐS: Bài 6.Một người đi xe máy từ A tới B. Cùng một lúc một người khác cũng đi xe máy từ B tới A với vận tốc bằng 4 vận tốc của người thứ nhất. Sau 2 giờ hai người gặp nhau. Hỏi 5 mỗi người đi cả quãng đường AB hết bao lâu? ĐS: Bài 7.Một canơ ngược dịng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đĩ lại xuơi từ bến B trở về bến A. Thời gian canơ ngược dịng từ A đến B nhiều hơn thời gian canơ xuơi dịng từ B trở về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết vận tốc dịng nước là 5 km/h, vận tốc riêng của canơ lúc xuơi dịng và lúc ngược dịng bằng nhau. ĐS: Bài 8. ĐS: Dạng 4: Tốn cĩ nội dung hình học Bài 1.Một tam giác cĩ chiều cao bằng 3 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh 4 đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nĩ tăng thêm 12 dm2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. ĐS: Cạnh đáy 20 dm, chiều cao 15 dm. Bài 2.Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vư- ờn ban đầu. ĐS: Bài 3.Người ta muốn làm một chiếc thùng tơn hình trụ khơng nắp cĩ bán kính đáy là 25 cm, chiều cao của thùng là 60 cm. Hãy tính diện tích tơn cần dùng (khơng kể mép nối). Thùng tơn đĩ khi chứa đầy nước thì thể tích nước chứa trong thùng là bao nhiêu. ĐS: Bài 4.Một thửa ruộng hình chữ nhật cĩ diện tích là 100 m 2. Tính độ dài các cạnh của thửa 7 Trường THCS Cao Bá Quát
8. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2. ĐS: Bài 5. ĐS: Dạng 5: Các dạng khác Bài 1.Hai giá sách cĩ 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng 4 số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá. 5 ĐS: 300; 150. Bài 2.Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đĩ cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch. ĐS: Bài 3.Một cơng nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù người đĩ mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hồn thành cơng việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đĩ. Biết mỗi giờ người đĩ làm khơng quá 20 sản phẩm. ĐS: Bài 4.Theo kế hoạch, một cơng nhân phải hồn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người cơng nhân đĩ đã làm thêm được 2 sản phẩm. Vì vậy, chẳng những hồn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà cịn v- ượt mức 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người đĩ phải làm bao nhiêu sản phẩm. ĐS: Bài 5.Một đội cơng nhân hồn thành một cơng việc với mức 420 ngày cơng thợ (nghĩa là nếu cơng việc đĩ chỉ cĩ một người làm thì phải mất 420 ngày). Hãy tính số cơng nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để đội hồn thành cơng việc sẽ giảm đi 7 ngày. ĐS: Bài 6.Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội cĩ 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu. ĐS: Bài 7.Người ta dự kiến trồng 300 cây trong một thời gian đã định. Do điều kiện thuận lợi nên mỗi ngày trồng được nhiều hơn 5 cây so với dự kiến, vì vậy đã trồng xong 300 cây ấy trước 3 ngày. Hỏi dự kiến ban đầu mỗi ngày trồng bao nhiêu cây? (Giả sử số cây dự kiến trồng mỗi ngày là bằng nhau). ĐS: Bài 8. ĐS: 8 Trường THCS Cao Bá Quát
9. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   ******************************************** PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN I. GĨC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG 1. Gĩc ở tâm Gĩc cĩ đỉnh trùng với tâm đường trịn đgl gĩc ở tâm. Nếu 00 1800 thì cung nằm bên trong gĩc đgl cung nhỏ, cung nằm bên ngồi gĩc đgl cung lớn. Nếu 1800 thì mỗi cung là một nửa đường trịn. Cung nằm bên trong gĩc đgl cung bị chắn. Gĩc bẹt chắn nửa đường trịn. Ki hiệu cung AB là »AB . 2. Số đo cung Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ»AB . Số đo của cung nhỏ bằng số đo của gĩc ở tâm chắn cung đĩ. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (cĩ chung 2 mút với cung lớn). Số đo của nửa đường trịn bằng 1800 . Cung cả đường trịn cĩ số đo 3600 . Cung khơng cĩ số đo 00 (cung cĩ 2 mút trùng nhau). 3. So sánh hai cung Trong một đường trịn hay hai đường trịn bằng nhau: Hai cung đgl bằng nhau nếu chúng cĩ số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào cĩ số đo lớn hơn đgl cung lớn hơn. 4. Định lí Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ»AB = sđ»AC + sđ»CB . Bài 7.Cho đường trịn (O; R). Vẽ dây AB R 2 . Tính số đo của hai cung AB. ĐS: 900;2700 . Bài 8.Cho đường trịn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 1 số đo của 2 cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB. R2 3 ĐS: S . 4 R 3 Bài 9.Cho hai đường trịn đồng tâm (O; R) và O; . Trên đường trịn nhỏ lấy một điểm 2 M. Tiếp tuyến tại M của đường trịn nhỏ cắt đường trịn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường trịn lớn tại C. a) Chứng minh rằng »CA »CB . b) Tính số đo của hai cung AB. 9 Trường THCS Cao Bá Quát
10. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   HD: b) 600;3000 . Bài 10. Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM = 10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính gĩc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. HD: 1200 . Bài 11. Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD, DE và EC. HD: »BD »DE »EC . Bài 12. Cho hai đường trịn đồng tâm (O; R) và (O; R ) với R > R . Qua điểm M ở ngồi (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R ). Một tiếp tuyến cắt (O; R) tại A và B (A nằm giữa M và B); một tiếp tuyến cắt (O; R) tại C và D (C nằm giữa D và M). Chứng minh hai cung AB và CD bằng nhau. HD: Bài 13. a) HD: II. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1. Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường trịn hay trong hai đường trịn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. 2. Định lí 2 Với hai cung nhỏ trong một đường trịn hay trong hai đường trịn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 3. Bổ sung a) Trong một đường trịn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. b) Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (khơng đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy. c) Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuơng gĩc với dây căng cung ấy và ngược lại. Bài 1.Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường trịn (O). Biết µA 500 , hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC. HD: µB µC µA »AC »AB »BC . Bài 2.Cho hai đường trịn bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kính AOE, AO F và BOC. Đường thẳng AF cắt đường trịn (O) tại một điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau. HD: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD. 10 Trường THCS Cao Bá Quát
11. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   Bài 3.Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho sđ ¼BM 900 . Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh rằng: a) AB  DN b) BC là tiếp tuyến của đường trịn (O). HD: Bài 4.Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song với nhau. Qua O vẽ đường thẳng vuơng gĩc AC tại M và BD tại N. So sánh hai cung AC và BD. HD: 1 Bài 5.Cho đường trịn (O) và dây AB chia đường trịn thành hai cung thỏa: A¼mB A¼nB . 3 a) Tính số đo của hai cung A¼mB, A¼nB . b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB là AB . 2 HD: Bài 6.Trên đường trịn (O) vẽ hai cung AB và CD thỏa: A»B 2C»D . Chứng minh: AB < 2.CD. HD: Bài 7. HD: III. GĨC NỘI TIẾP 1. Định nghĩa Gĩc nội tiếp là gĩc cĩ đỉnh nằm trên đường trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường trịn đĩ. Cung nằm bên trong gĩc đgl cung bị chắn. 2. Định lí Trong một đường trịn, số đo của gĩc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 3. Hệ quả Trong một đường trịn: a) Các gĩc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các gĩc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Gĩc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) cĩ số đo bằng nửa số đo của gĩc ở tâm cùng chắn một cung. d) Gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn là gĩc vuơng. Bài 1.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC cĩ số đo bằng 600 . a) So sánh các gĩc của tam giác ABC. b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của gĩc ACB. HD: a) µB 300 µA 600 µC 900 11 Trường THCS Cao Bá Quát
12. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   b) Chứng minh các tia AN, BM là các tia phân giác của các gĩc A và B. Bài 2.Cho tam giác ABC cân tại A ( µA 900 ). Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng: 1 a) Tam giác DBE cân. b) ·CBE ·BAC . 2 HD: a) »DB »DE DB DE b) ·CBE ·DAE . Bài 3.Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường trịn (O). Vẽ đường kính MN  BC (điểm M thuộc cung BC khơng chứa A). Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngồi tại đỉnh A của tam giác ABC. HD: MN  BC ¼MB ¼MC . Bài 4.Cho đường trịn (O) và hai dây MA, MB vuơng gĩc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI. a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng. b) Chứng minh rằng P là tâm đường trịn nội tiếp tam giác MAB. c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính của đường trịn nội tiếp tam giác MAB. HD: a) ·AOB 1800 b) AK, BI là các đường phân giác của MAB c) AB = 20 cm. Chứng minh r p a r 4cm . Bài 5.Cho đường trịn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên một nửa đường trịn đĩ. Vẽ đường trịn tâm I tiếp xúc với đường trịn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường trịn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng. b) ID  MN. c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định, từ đĩ suy ra cách dựng đường trịn (I) nĩi trên. HD: a) ·MCN 900 MN là đường kính. b) Chứng minh O, I, C thẳng hàng; ·INC ·OBC MN // AB; ID  AB. c) Gọi E là giao điểm của đường thẳng CD với (O) »EA »EB E cố định. Bài 6.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. a) Tứ giác BFCH là hình gì? b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng. 1 c) Chứng minh rằng OM AH . 2 HD: a) Chứng minh ·ABF ·ACF 900 CE // BF, BD // CF BFCH là hình bình hành. b) Dùng tính chất hai đường chéo của hình bình hành. c) Dùng tính chất đường trung bình của tam giác AHF. Bài 7.Cho đường trịn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường trịn, C là điểm bất kì trên nửa đường trịn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuơng gĩc với 12 Trường THCS Cao Bá Quát
13. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   CM tại F. a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân. b) Vẽ CH  AB. Chứng minh rằng tia CM là tia phân giác của gĩc ·HCO . 1 c) Chứng minh rằng CD AE . 2 HD: a) Chứng minh FAC và FEM vuơng cân tại F AE = CM; ·CAE ·AEM 450 AC // ME ACEM là hình thang cân. b) ·HCM ·OMC ·OCM CD CH DH 1 1 c) HDC  ODM 1 CD ≤ MD CD CM AE . MD MO DO 2 2 Bài 8.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O; R). Biết µA 900 . Tính độ dài BC. HD: Vẽ đường kính BD. ·BDC ·BAC . BC BD.sin D 2Rsin . Bài 9.Cho đường trịn (O) cĩ hai bán kính OA và OB vuơng gĩc. Lấy điểm C trên đường trịn sd A»C 4 (O) sao cho . Tính các gĩc của tam giác ABC. sdB»C 5 HD: Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A và cĩ gĩc A bằng 500 . Nửa đường trịn đường kính AC cắt AB tại D và BC tại H. Tính số đo các cung AD, DH và HC. HD: Bài 11. Cho đường trịn (O) cĩ đường kính AB vuơng gĩc dây cung CD tại E. Chứng minh rằng: CD2 4AE.BE . HD: Bài 12. a) HD: IV. GĨC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1. Định lí Số đo của gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 2. Hệ quả Trong một đường trịn, gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 3. Định lí (bổ sung) Nếu gĩc BAx (với đỉnh A nằm trên đường trịn, một cạnh chứa dây cung AB), cĩ số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đĩ và cung này nằm bên trong gĩc đĩ thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường trịn. Bài 1.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. a) Chứng minh rằng tia CA là tia phân giác của gĩc MCH. b) Giả sử MA = a, MC = 2a. Tính AB và CH theo a. 13 Trường THCS Cao Bá Quát
14. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   HD: a) ·ACH ·ACM µB 6 b) Chứng minh MA.MB MC2 MB 4a , AB 3a . MC.OC = CH.OM CH a . 5 Bài 2.Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn (O). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường trịn trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lượt là các giao điểm của đường trịn (O) với các ti OA, OB, OC. Chứng minh rằng các điểm M, N, P lần lượt là tâm của đường trịn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF. HD: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Bài 3.Cho hai đường trịn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường trịn (O) tại C và tiếp xúc với đường trịn (O ) tại D. Vẽ đường trịn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng: a) ·CAD ·CBD 1800 . b) Tứ giác BCED là hình bình hành. HD: a) Chứng minh ·BAC ·BCD , ·BAD ·BDC ·CAD ·CBD ·BCD ·BDC ·CBD 1800 b) Chứng minh ·BCD ·EDC ( ·BAC) , ·ECD ·BDC ( ·BAD) BC // DE, BD // CE. Bài 4.Trên một cạnh của gĩc ·xMy lấy điểm T, trên cạnh kia lấy hai điểm A, B sao cho MT 2 MA.MB . Chứng minh rằng MT là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác TAB. 1 HD: Chứng minh MAT  MTB ·ATM µB sd»AT MT là tiếp tuyến. 2 Bài 5.Cho hai đường trịn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường trịn (O) tiếp xúc với đường trịn (O ). Vẽ dây BD của đường trịn (O ) tiếp xúc với đường trịn (O). Chứng minh rằng: BC AC a) AB2 AC.AD b) . BD AD 2 AB AC BC BC AB AC AC HD: a) ABC  ADB đpcm. b) . . AD AB BD BD AD AB AD Bài 6.Cho đường trịn (O) và một điểm M ở bên ngồi đường trịn. Tia Mx quay quanh M, cắt đường trịn tại A và B. Gọi I là một điểm thuộc tia mx sao cho MI 2 MA.MB . Hỏi điểm I di động trên đường nào? HD: MT 2 MA.MB MI 2 MI = MT Điểm I di động trên đường trịn (M, MT). Bài 7.Cho đường trịn (O) và ba điểm A, B, C trên (O). Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến tại A ở M. So sánh các gĩc: A· MC, A· BC , A· CB . HD: Bài 8.Cho hai đường trịn (O, R) và (O , R ) (R > R ) tiếp xúc ngồi nhau tại A. Qua A kẽ hai cát tuyến BD và CE (B, C (O ); D, E (O)). Chứng minh: A· BC ·ADE . HD: Bài 9.Cho đường trịn (O, R) cĩ hai đường kính AB và CD vuơng gĩc. Gọi I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC = CM. a) Tính gĩc AOI. b) Tính độ dài OM. 14 Trường THCS Cao Bá Quát
15. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   HD: Bài 10. a) HD: V. GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN. GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN. Định lí 1 Số đo của gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Định lí 2 Số đo của gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. Bài 1.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy các điểm I và K sao cho ºAI »AK . Dây IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. a) Chứng minh rằng ·ADK ·ACB . b) Tam giác ABC phải cĩ thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân. sd»AK sdºBI »AB HD: a) ·ADK sd µC b) µC µB . 2 2 Bài 2.Cho đường trịn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuơng gĩc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường trịn (O) tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh rằng: AE AF a) Các tam giác INE và INF là các tam giác cân. b) AI . 2 1 HD: a) ·INE sd»CN µE b) AI AE IE, AI AF IF đpcm. 2 Bài 3.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). Các tia phân giác của gĩc B và gĩc C cắt nhau tại I và cắt đường trịn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN là tam giác cân. b) Các tam giác EAI và DAI là những tam giác cân. c) Tứ giác AMIN là hình thoi. HD: a) »DA »DC,»EA »EB,»FB »FC ·AMN ·ANM b) ·DAI ·DIA DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN đpcm. Bài 4.Từ một điểm M ở bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. »CD HD: µA sd ·MAC MA = MC = MB. 2 15 Trường THCS Cao Bá Quát
16. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   Bài 5.Từ một điểm A ở bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC và ADE (B nằm giữa A và C; D nằm giữa A và E). Cho biết µA 500 , sd»BD 400 . Chứng minh CD  BE. sd»CE sd»BD sd»CE sd»BD HD: µA sd»CE 1400 . Gọi H = CD  BE ·CHE 900 . 2 2 Bài 6.Cho 4 điểm A, B, C và D theo thứ tự trên đường trịn (O) sao cho số đo các cung như sau: sd»AB 400 , sd»CD 1200 . Gọi I là giao điểm của AC và BD. M là giao điểm của DA và CB kéo dài. Tính các gĩc CID và AMB. HD: Bài 7.Cho đường trịn (O). Từ một điểm M ở ngồi (O), ta vẽ các cát tuyến MAC và MBD sao cho ·CMD 400 . Gọi E là giao điểm của AD và BC. Biết gĩc ·AEB 700 , tính số đo các cung AB và CD. HD: Bài 8.Cho đường trịn (O) và một điểm M ở ngồi (O). Vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đi qua O (B nằm giữa M và C). Đường trịn đường kính MB cắt MA tại E. Chứng minh: sd A¼nC sdB¼mA sdB¼kE với ¼AnC , ¼BmA và ¼BkE là các cung trong gĩc AMC. HD: Bài 9. a) HD: VI. CUNG CHỨA GĨC 1. Quỹ tích cung chứa gĩc Với đoạn thẳng AB và gĩc ( 00 1800 ) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn ·AMB là hai cung chứa gĩc dựng trên đoạn AB. Chú ý: Hai cung chứa gĩc nĩi trên là hai cung trịn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích. Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một gĩc vuơng là đường trịn đường kính AB. 2. Cách vẽ cung chứa gĩc – Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB. – Vẽ tia Ax tạo với AB một gĩc . – Vẽ đường thẳng Ay vuơng gĩc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d. – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia Ax. ¼AmB được vẽ như trên là một cung chứa gĩc . 3. Cách giải bài tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đĩ, ta phải chứng minh hai phần: 16 Trường THCS Cao Bá Quát
17. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   – Phần thuận: Mọi điểm cĩ tính chất T đều thuộc hình H. – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều cĩ tính chất T. – Kết luận: Quỹ tích các điểm M cĩ tính chất T là hình H. Bài 1.Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây MN = R (điểm M ở trên cung »AN ). Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Hỏi khi dây MN di động thì điểm I di động trên đường nào? HD: Chứng minh MON đều ·MON 600 ·AIB 1200 I nằm trên cung chứa gĩc 1200 dựng trên đoạn AB. Bài 2.Cho nửa đường trịn đường kính AB và một dây AC quay quanh A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vuơng ACDE. Hỏi: a) Điểm D di động trên đường nào? b) Điểm E di động trên đường nào? HD: a) ·ADB ·ADC 450 D di động trên cung chứa gĩc 450 dựng trên đoạn AB (nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB cĩ chứa C). b) Vẽ Ax  AB. DE cắt Ax tại F EAF = CAB AF = AB AF cố định. ·AEF 900 E nằm trên đường trịn đường kính AF. Bài 3.Cho hình vuơng ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC. HD: Phần thuận: CBF = CDE ·BMD ·BME 900 M nằm trên đường trịn đường kính BD. Mặt khác E C thì M C, E B thì M B M thuộc cung nhỏ BC. Phần đảo: DM cắt BC tại E, BM cắt DC tại F. CBF = CDE CE = CF. Kết luận: Quỹ tích của điểm M là cung nhỏ BC của đường trịn đường kính BD. Bài 4.Cho tam giác ABC vuơng tại A. Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB và AC ra phía ngồi tam giác. Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa đường trịn đường kính AC). a) Tứ giác BMNC là hình gì? b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi cát tuyến MAN quay quanh A. HD: a) BMNC là hình thang vuơng b) Gọi K là trung điểm của BC. Quỹ tích điểm I là cung DAE của đường trịn đường kính AK. Bài 5.Cho nửa đường trịn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AM lấy điểm N. Trên các tia AM, AN và BN lần lượt lấy các điểm C, D, E sao cho MC = MA, ND = NB, NE = NA. Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường trịn. HD: ·ACB ·ADB ·AEB 450 C, D, E nằm trên cung chứa gĩc 450 dựng trên đoạn AB. Bài 6.Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường phân giác BF. Từ một điểm I nằm giữa B và F, vẽ một đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường trịn ngoại tiếp tam giác BIN cắt đường thẳng AI tại một điểm thứ hai là D. Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E. a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường trịn. 17 Trường THCS Cao Bá Quát
18. Ơn Tốn 20 (Covid-19) Lớp 9A4   b) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường trịn. Từ đĩ suy ra BE  CE. HD: a) ·ABE ·ADE B, D thuộc cung chứa gĩc dựng trên đoạn AE A, B, D, E (P). b) ·ACB ·ADB A, B, C, D (P ). (P) và (P ) cĩ 3 điểm chung A, B, D (P)  (P ) ·BEC ·BAC 900 . Bài 7.Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C di động trên (O). Gọi M là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Điểm M di động trên đường nào? HD: Bài 8.Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, µA 500 , AB = 3,5cm. HD: Bài tốn cĩ hai nghiệm hình. Bài 9.Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường cao BD = 3cm và đường cao CE = 3,5cm. HD: Bài 10. HD: 18 Trường THCS Cao Bá Quát